Esperança Matemática em Atuária

Esperança Matemática é um conceito que vem da probabilidade. É o Valor Esperado ou Expectância.[Para acessar o post que eu fiz sobre o assunto, CLIQUE AQUI.] Em atuária, a definição de Esperança é a mesma, só que, como a aplicamos em uma situação onde tem juros, temos que fazer alguns ajustes.

Na Atuária, a Esperança é o valor que produz o jogo honesto, justo, equilibrado. É o valor onde a Receita que eu ganho para fazer o jogo é igual a Despesa que eu tenho com o jogo. Então, por exemplo, se fizermos uma rifa para sortear um carro, e o valor do carro for 5000, e eu vender 1000 bilhetes, o valor de cada bilhete tem que ser de 5 reais: assim não "some" dinheiro nenhum do jogo e por isso o jogo é "Justo" (ou seja: Receita = Despesa). A Esperança é justamente esse valor (5 reais). Por causa disso, a Esperança também é chamada de Preço de Custo.

Podemos dizer que a Esperança, nessa situação acima, é dada por:

E = Q*p ,    onde Q = Valor sorteado    e    p = Probabilidade de ser sorteado.

Se pensarmos no conceito de Esperança dado em probabilidade, dado pela fórmula

E[X]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p(x_i)   

Q é igual ao x e p é igual ao p(x).

Só que nas situações mais comuns, o dia do sorteio e o dia em que se vendem os bilhetes é diferente, e normalmente o valor arrecadado com os bilhetes vai para o banco e pode render alguns juros. Por isso, para que o jogo permaneça justo, nosso cálculo tem que retirar o rendimento desses juros.

A fórmula dos juros compostos é dada por

Mn = C(1+i)^n.

Como nessa fórmula o rendimento de juros se dá na multiplicação pelo fator (1+i) elevado na n, para retirar os juros no cálculo da Esperança, temos que dividir por (1+i) elevado na n. Assim, definimos vcomo esse fator de divisão. Portanto:

v^n = \left ({1 \over 1+i} \right )^n      e      E = (Q*v^n)*p

Se olharmos bem, veremos que Q*vn é equivalente a x na fórmula "genérica" para a Esperança, só que, como essa situação prática envolve juros, vn é apenas uma correção.

Quanto ao "p", a probabilidade de um bilhete ser sorteado entre 1000 é uma entre mil, ou seja 1/1000. Portanto, a probabilidade é sempre 1 sobre o número de bilhetes.

Assim, no exemplo dado acima, se um carro de 5000 reais fosse sorteado entre 1000 bilhetes, e esses bilhetes fossem vendidos 3 meses antes, considerando que esses bilhetes foram colocados na poupança a uma taxa de juros de 0,5% ao mês, o valor justo para cada bilhete será:

E = (Q*v^n)*p

E = (5000* \left ({1 \over 1+0,5%} \right )^3)*{1 \over 1000}
E = (5000* \left ({1 \over 1+0,005} \right )^3)*{1 \over 1000}
E = (5000* \left ({1 \over 1,005} \right )^3)*{1 \over 1000}
E = (5000* 0,98515)*{1 \over 1000}
E = 4925,74380*{1 \over 1000}
E = {4925,74380 \over 1000}
E = 4,9257


Portanto, o valor justo para o bilhete será de R$4,93 centavos.

Paztejamos

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