Juros Compostos

Os Juros Compostos são chamados assim porque, ao contrário dos Juros Simples, são aplicados sempre em cima do valor do último montante, fazendo valer a famosa expressão "juros sobre juros". A ideia é simples: Imagine que o Almir, como no caso dos Juros Simples, tenha combinado de pegar R$100 emprestados a uma taxa de 2% ao mês, só que dessa vez em Juros Compostos, ao longo de 1 ano.

Considerando que ele tenha pego o empréstimo dia 1 de janeiro, o resultado seria o seguinte:

  • Em janeiro ele me deve R$100. Ao chegar ao fim do mês, ele passa a me dever os R$100 mais 2% desses R$100, ou seja, mais R$2. Assim, em fevereiro ele me deve R$102 no total. Nesse primeiro mês o valor é igual ao do Juros Simples;
  • Ao longo do mês de fevereiro, o Almir me deve R$102. Porém, ao chegar ao mês de março, incidem juros novamente, e o Almir passa a me dever os R$102 mais 2% desses R$102, o que são R$2,04. Como vemos, os juros de março incidiram em cima do valor já aumentado pelos juros de fevereiro, aumentando o valor cobrado. No dia 01 de março, assim, o Almir passa a me dever R$104,04.
  • De março para abril, seguindo essa mesma lógica, a dívida cresce de R$104,04 para R$106,12.
  • Levando essa lógica até o fim do período...
  • Quando chegarmos a 01 de janeiro novamente, o valor final que o Almir vai me pagar é R$126,82.
Por mais que pareça complicado fazer esse raciocínio para longos períodos de tempo, na verdade, após algumas contas, chegamos numa fórmula bem simples para o cálculo dos Juros Compostos. O raciocínio é o seguinte. Imagine que C é o Capital Inicial de R$100. O Montante do primeiro mês, que vou chamar de M1, é portanto igual Capital mais o Capital multiplicado pela taxa de juros i, que é 2%. Ou seja:

M1 = C + Ci

ou, colocando C em evidência,

M1 = C(1+i)

Já no segundo mês, o Montante, que vou chamar de M2, é igual ao M1 mais M1 vezes a taxa de juros. Como dá pra ver, M1 substituiu o lugar de C na equação. Assim:

M2 = M1 + (M1*i)

Substituindo M1 na equação acima, temos:

M2 = C(1+i) + (C(1+i)i)

Colocando C em evidência, ficamos com:

M2 = C[(1+i) + (1+i)i]

Como o (1+i) multiplica os dois termos dentro dos colchetes, ele também pode ser colocado em evidência. Assim:

M2 = C(1+i)[1 + i]

Como (1+i) está sendo multiplicado duas vezes, temos:

M2 = C(1+i)^2

Se fizermos o mesmo procedimento para M3, M4 e etc, vamos ver que sempre caímos nessa fórmula do tipo

Mn = C(1+i)^n

Assim, para saber quanto o Almir vai dever no fim de 12 meses, basta colocar n = 12 na equação acima. Para esse exemplo do Almir, sabendo que 2% é igual a 2/100 ou 0,02, a conta fica assim:

M = 100(1+0,02)^{12}
M = 100(1,02)^{12}
M = 100*1,26824
M = 126,82

Paztejamos

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